在實際的產品設計中經常用到組合曲面。所謂組合曲面，就是將不同的曲面片以一定的方式連接起來組成的曲面。組合曲面雖能方便地表達復雜的形狀，但卻帶來另一個問題，這就是組合曲面中曲面間的過渡問題。若想讓單張曲面間滿足特定的條件直接連接，這將是極端困難的，甚至是不可能的。于是。人們采用在組合曲面間加入過渡面來處理曲面間的過渡問題。由于過渡面在產品的性能、外觀、加工等方面的重要作用，因此這方面的研究較多。雖然目前對曲面過渡問題研究較多，且算法日臻完善，但它們都是僅僅從數學的角度對過渡問題進行研究，而沒有考慮加工的要求，這樣建立的過渡面可能無法加工出來或者加工時必須增加換刀次數而使加工的效率降低。為此，本文擬從數控技術加工的角度對曲面過渡技術進行研究。1. 自由曲面光滑過渡理論

　　用曲面對組合曲面進行連接過渡時，過渡面與組合曲面間必需滿足一定的光滑度(也稱光順性)要求。目前，有兩種不同的關于連接光順性的度量：一種是傳統的參數連續性，另一種為幾何連續性。參數連續性的定義是：當且僅當兩曲面P(s, t)與Q(u, v)沿它們的正則公共連接線P(g)=Q(g)處處具有直到n階的偏導矢，則稱它們沿該連接線具有n階參數連續性或是Cn的連續性。而幾何連續性的定義是：兩曲面 P(s, t)與Q(u, v)沿它們的正則公共連接線 P(g)=Q(g)具有n階幾何連續性或是Gn的連續性。當且僅當其中是一可被重新參數化以使得它們沿該公共連接線具有n個參數連續性或是Cn的連續性。人們在實踐中逐步認識到，傳統的參數連續性在度量非參數形式的曲面的光順性時是恰當的，但用于參數形式的曲面的光順性時則是對光順的不必要的過度限制，因此，它不能確切度量參數曲面的光滑度。幾何連續性是對參數連續性必要的松馳，也是對參數化的必要松弛，但決不是光滑度的松馳，這樣，它可以為形狀定義和形狀控制提供額外的自由度。因此，幾何連續性是對參數曲面光順性比較理想的度量。考慮到現在參數曲面已成為自由曲面的標準表達形式，本文也采用幾何連續性處理過渡面與組合曲面之間連接的光滑性問題。而且綜合考慮精度和效益原則，本文僅采用G1及一階幾何連續性。該連續性可表達為：兩曲面P(s, t)與Q(u, v)沿它們的正則公共連接線P(g)=Q(g)具有一階幾何連續性或是G1的連續性"當且僅當它們沿該公共連接線處處具有公共的切平面或公共的曲面法線。

2. 面向數控加工的曲面過渡技術

　　如前所述，目前幾何造型系統中的曲面過渡僅從數學的角度而沒有考慮到數控技術加工的要求。本文提出的面向數控技術加工的組合自由曲面的過渡技術不僅滿足數學上的光順性要求，更重要的是它考慮到數控技術加工的特點。該曲面過渡技術主要包括以下幾步。

　　組合曲面的離散并求出組合曲面的交線

　　對自由曲面的離散目前的研究較多，其算法也比較成熟，此處不做深入的分析。本文采用三角形離散化方法對組合曲面進行離散，該方法的具體實現請參閱相關文獻。組合曲面經過離散后，求解它們的交線(用微線段近似表示)也是很容易的，此處也不再贅述。

　　用截平面截組合曲面并得出截交線

　　目前的組合曲面數控技術加工大體上有運算符法、區域加工法和截面法三種。其中截面法是將刀位軌跡規劃在一組相互平行的平面上，且通常是一組垂直于XY面的平面。該方法是組合曲面加工中最常用的方法，它能夠將組合曲面視為一個整體進行加工，刀具軌跡跨越整個組合曲面，加工效率較高。故本文也針對該加工方法提出組合曲面的過渡方法。當采用垂直于XY面的平面截已經過離散的組合曲面時，同樣能方便地得出用微線段表示的截交線。

　　求出組合曲面在截交線處的曲率

　　當求出組合曲面與平面的交線后，即可求出截平面與三角形片各邊交點(各微線段的端點)處的曲面的曲率。其求解過程為　　Kn= f2 = Ldu+2Mdudv+Ndv　　f1 Edu+2Fdudv+Gdv　　(1)　　式中 Kn──曲面的法曲率　　f1──曲面第一不變量, E=PuPu;F=PuPv;G=PvPv　　f2──曲面第二不變量, L=nPuu; M=nPuv; N=nPvv　　得出法曲率之后，通過求解其極值，即可求出該點最大 曲率。求解極值公式為：　　KnE-L KnF-M　　KnF-M KnG-N　　(2)

　　當組合曲面與截平面交線處曲面的曲率被求出之后，即可采用下面的公式計算下一個截平面與當前截平面 的間距為

　　l= {4(R+r)(h+r)-[r+2Rr+(h+r)]}　　(R+r)(h+r)　　(3)　　式中 l──兩條相鄰截平面的最大間距, mm　　r──組合曲面上沿截平面的最小曲率半徑, mm　　R──球頭刀具的球頭半徑, mm　　h──允許的殘余高度, mm　　同時，記下當前截平面與組合曲面交線上曲面曲率最大的值。這樣，即可得出各個截平面與組合曲面的交線處曲面的曲率的最大值。

　　分析確定合理的組合曲面過渡半徑

　　當各個截平面處的曲率的最大值求出后，即可分析判斷組合曲面的過渡半徑。在數控加工中，無干涉刀位軌跡的生成，尤其其中的軌跡的干涉檢驗與處理是最復雜的環節。而刀具半徑(此處指球頭刀具)的選擇和加工中換刀的次數是影響加工效率的兩個最主要因素。若單獨考慮，刀具半徑越大，加工效率越高；而換刀次數越少，加工效率越高。但對于給定的曲面，選擇的刀具半徑越大，往往意味著換刀次數的增多。本文的目標是盡量使組合曲面不因增加過渡面而降低效率。基于此，我們提出的過渡曲率半徑準則如下：

　　如果 組合曲面對過渡曲率半徑有明確的數值要求，則各截平面對應的過渡半徑為要求的數值；

　　如果 所有截平面對應的最大曲率中的最大者小于經濟刀具的球頭曲率，經濟刀具就是最經濟的刀具，該刀具使加工效率最高，則各截平面對應的過渡半徑為該刀具的球頭半徑

　　組合曲面在每個截平面對應的過渡半徑為該截平面對應的最大曲率的倒數。

　　采用三次B樣條曲面進行擬合得出過渡面

　　得出組合曲面的各截平面對應的過渡半徑后，我們首先用該曲率半徑的圓弧將同一截平面對應的組合曲面的截交線進行G1光滑圓角過渡，這樣，我們便得到一系列圓弧，并記下各過渡圓弧段的起點和終點，也即過渡圓弧和組合曲面截交線的交點，這些起點和終點的連線即為組合曲面與過渡面的公共連接線。之后我們采用曲面擬合技術對此一系列圓弧進行擬合得出要求的過渡面。本文采用三次準均勻B樣條曲面作為擬合面的形式。如前所述，本文采用G1連續性作為組合曲面和過渡面的光順準則。該準則表達如下：兩曲面P(s,t)與Q(u,v)沿它們的正則公共連接線P(g)=Q(g)具有一階幾何連續性或是G1的連續性，當且僅當它們沿該公共連接線處的不相重合的四個切矢Ps(g)，Pt(g)，Qu(g)和Qv(g)應當共面，該共面條件在數學上可表達為(Ps×Pt)×(Qs×Qt)=(Ps,Pt,Qv)Qu(Ps,Pt,Qv)Qu=0。由于B樣條曲面的局部修改性，所以可單獨將過渡面與組合曲面的各個面分別進行G'光滑過渡。過渡時，首先在每段圓弧段上取若干點，且為了方便，在各個圓弧上的點數應相同；然后以圓弧段方向為u方向，以各個圓弧段上對應點的連線為v方向；之后采用B樣條反求算法求出對應的控制點。最后，根據上面提及的G1光滑條件$對控制點稍作變動即可擬合出滿足條件的過渡面。3. 結語 本文提出的面向數控加工的曲面過渡技術從數控技術的角度對組合曲面的過渡技術進行了深入系統的研究并提出了相應的算法。它避免了傳統的曲面過渡技術純粹從數學的角度而沒有考慮加工的可行性和效率的缺點，不但使生成的過渡面可滿足光順性的基本要求，而且使在對其進行加工時盡量減少了換刀的次數，提高了加工的效率。這為曲面過渡技術提供了新的思路，同時有利于CAD/CAM一體化的進程。